56、无意义的运算
在科学的逻辑体系中经常存在大量的演算过程，而我们有时候会遇到按照常理无法继续演算的情况，这时候最省力的方式就是认为它没有意义，这样就可以心安理得的跳过它。然而在科学发展史上，对无意义运算的深度解读，经常会引领我们走向全新的未知世界，刷新和扩充我们的知识领域。
最容易想到的无意义运算就是0做分母的时候，我们很快就能联想到无穷大的概念。而实际上，为了找到分母为0的现实意义，我们需要找到一个它出现的场景。在欧几里得几何里，两条平行线永不相交，但是如果一个画家在画布上绘制伸向远方的两条平行铁轨，我们看到的是由近及远逐渐变窄的铁轨，并在尽头相交于一点。绘画中的这种技巧叫做透视原理，而描述这种特殊现象的几何学被称为射影几何学。分母为0的量可以理解为射影几何中的这种无穷远点，在这种几何学中，无穷远点不需要画在无穷远处，而只需要像对待普通点一样对待它即可。根据克莱因提出的几何学的埃尔朗根纲领，几何学讨论的是在某种变换下的不变性质。在欧几里得几何中，几何图形在平移、旋转等操作下，线段的长度、线与线的夹角、图形的面积、形状都不会改变，但是在符合透视原理的射影几何中则都是变化的。而射影几何仍然有它的不变量，比如直线与线束的交比。数学家们很快发现，欧式几何是仿射几何的特例，而仿射几何是射影几何的特例，分母为0的式子在射影几何中找到了位置。
第二个显而易见的无意义运算是负数的平方根，在实数范围内它的确是无意义的，但是通过扩充数的范畴，将一维的实数数轴扩充为二维的复平面，问题就容易解决了。一个数乘以-1从复平面上看，就是将这个数以原点为中心逆时针旋转180度，那么一个数乘以-1的平方根显然就是这个数逆时针旋转90度了，通过两次这样的旋转操作就可以得到乘以-1的效果。因此-1的平方根在与实数轴具有共同原点且相互垂直的数轴的单位长度处。这样，虚数与复数诞生了，整个数学扩充到复数域后变得更加简洁完美。通过将复平面映射成复球面，可以发现，如果添加一个无穷远点在复球面的一极上，复球面会变得更完美一些，在这里分母为0的式子找到了另一层新的含义。通常实数范围内的函数都有一定的定义域，超出这个区域就变得没有意义，比如对数函数，当自变量为负数时函数是没有意义的，但是在复变函数领域则变得有意义了。函数的值域也有类似的规律，在实数范围内，正弦函数和余弦函数取值都只能在-1和1之间，但扩展到复数域，其值域在-1和1之外也可以有意义，复数的引入把太多的无意义转化成了有意义。
随着微积分基础概念的严格化，发散级数被排除在正统数学之外，人们通常认为发散级数是没有意义的，对发散级数进行运算会很容易得到悖论。但是发散级数并不是一无是处的，对一些物理微观系统的计算得到的往往都是一些发散的级数，使得一切计算似乎毫无意义，但是很多发散级数有一些奇特的性质，对这个级数的前几项进行求和，居然可以得到一定精确度下符合实验的正确结果。人们将这类级数称为渐进级数，虽然级数整体是发散的，但前几项的和却可以有意义。数学上也有许多有意义的渐进级数，应用最多的大概就是用来估算大数阶乘的斯特林公式了。基于这种有用性，数学家们发展出了一套渐进级数理论。发散级数尽管它的和是貌似无意义的无穷大，但是级数本身是有一定的数学结构的，因此可能会在其中隐藏一些可以通过某种方式提取出来的信息。或许在不久的将来，我们会发现蕴藏在发散级数中的更多秘密，使发散级数真正有意义起来。
狄拉克是一位物理学界和数学界共同的天才，他不仅创造了如今被物理学家们广泛使用的狄拉克符号，还提出了一种被称为狄拉克δ函数的广义函数。这个函数被定义为在除了0点之外的函数值都是0，而在整个定义域内的积分是1。这样的函数在传统的微积分理论中是没有意义的，因为函数在0点处的值似乎是无穷大。狄拉克在物理现象的启示下发现，物理量有两种，一种是类似质点、点电荷的奇点，另一类是在空间中连续分布的函数。狄拉克通过引进δ函数可以用一种统一的数学方法方便的处理这两种状态，赋予了δ函数现实的意义。
在寻找描述电子相对论化的薛定谔方程：狄拉克方程的过程中，狄拉克同样展现出他天才的创意。为了消除传统的相对论波动方程：克莱因-高登方程导致的负概率困难，需要寻找波函数对时间一阶导数的波动方程，然而与之对应的相对论能量动量关系中就需要开方运算，破坏了波函数叠加原理的线性性质。将这个非线性的开方运算线性化是一个在实数和复数范围内都不可能的运算，似乎是一种无意义的尝试。可是狄拉克发现，当我们继续扩充数的范围，将矩阵看作一种更大范围内的新数时，在4阶矩阵的情形下，这种转化是可能的。很快，狄拉克发明了以他的名字命名的一组矩阵，在此基础上建立起真正描述电子行为的相对论波动方程。
在无意义的运算中找到意义，在不可能中寻找可能，可以让我们获得真正的创新，找到那条看似不可能的新路口，同时，我们会以一种全新的视角重新审视旧有的理论，获得一种新的认知，使我们的视野扩展到只有思维才能看到的更广阔的抽象领域。
最容易想到的无意义运算就是0做分母的时候，我们很快就能联想到无穷大的概念。而实际上，为了找到分母为0的现实意义，我们需要找到一个它出现的场景。在欧几里得几何里，两条平行线永不相交，但是如果一个画家在画布上绘制伸向远方的两条平行铁轨，我们看到的是由近及远逐渐变窄的铁轨，并在尽头相交于一点。绘画中的这种技巧叫做透视原理，而描述这种特殊现象的几何学被称为射影几何学。分母为0的量可以理解为射影几何中的这种无穷远点，在这种几何学中，无穷远点不需要画在无穷远处，而只需要像对待普通点一样对待它即可。根据克莱因提出的几何学的埃尔朗根纲领，几何学讨论的是在某种变换下的不变性质。在欧几里得几何中，几何图形在平移、旋转等操作下，线段的长度、线与线的夹角、图形的面积、形状都不会改变，但是在符合透视原理的射影几何中则都是变化的。而射影几何仍然有它的不变量，比如直线与线束的交比。数学家们很快发现，欧式几何是仿射几何的特例，而仿射几何是射影几何的特例，分母为0的式子在射影几何中找到了位置。
第二个显而易见的无意义运算是负数的平方根，在实数范围内它的确是无意义的，但是通过扩充数的范畴，将一维的实数数轴扩充为二维的复平面，问题就容易解决了。一个数乘以-1从复平面上看，就是将这个数以原点为中心逆时针旋转180度，那么一个数乘以-1的平方根显然就是这个数逆时针旋转90度了，通过两次这样的旋转操作就可以得到乘以-1的效果。因此-1的平方根在与实数轴具有共同原点且相互垂直的数轴的单位长度处。这样，虚数与复数诞生了，整个数学扩充到复数域后变得更加简洁完美。通过将复平面映射成复球面，可以发现，如果添加一个无穷远点在复球面的一极上，复球面会变得更完美一些，在这里分母为0的式子找到了另一层新的含义。通常实数范围内的函数都有一定的定义域，超出这个区域就变得没有意义，比如对数函数，当自变量为负数时函数是没有意义的，但是在复变函数领域则变得有意义了。函数的值域也有类似的规律，在实数范围内，正弦函数和余弦函数取值都只能在-1和1之间，但扩展到复数域，其值域在-1和1之外也可以有意义，复数的引入把太多的无意义转化成了有意义。
随着微积分基础概念的严格化，发散级数被排除在正统数学之外，人们通常认为发散级数是没有意义的，对发散级数进行运算会很容易得到悖论。但是发散级数并不是一无是处的，对一些物理微观系统的计算得到的往往都是一些发散的级数，使得一切计算似乎毫无意义，但是很多发散级数有一些奇特的性质，对这个级数的前几项进行求和，居然可以得到一定精确度下符合实验的正确结果。人们将这类级数称为渐进级数，虽然级数整体是发散的，但前几项的和却可以有意义。数学上也有许多有意义的渐进级数，应用最多的大概就是用来估算大数阶乘的斯特林公式了。基于这种有用性，数学家们发展出了一套渐进级数理论。发散级数尽管它的和是貌似无意义的无穷大，但是级数本身是有一定的数学结构的，因此可能会在其中隐藏一些可以通过某种方式提取出来的信息。或许在不久的将来，我们会发现蕴藏在发散级数中的更多秘密，使发散级数真正有意义起来。
狄拉克是一位物理学界和数学界共同的天才，他不仅创造了如今被物理学家们广泛使用的狄拉克符号，还提出了一种被称为狄拉克δ函数的广义函数。这个函数被定义为在除了0点之外的函数值都是0，而在整个定义域内的积分是1。这样的函数在传统的微积分理论中是没有意义的，因为函数在0点处的值似乎是无穷大。狄拉克在物理现象的启示下发现，物理量有两种，一种是类似质点、点电荷的奇点，另一类是在空间中连续分布的函数。狄拉克通过引进δ函数可以用一种统一的数学方法方便的处理这两种状态，赋予了δ函数现实的意义。
在寻找描述电子相对论化的薛定谔方程：狄拉克方程的过程中，狄拉克同样展现出他天才的创意。为了消除传统的相对论波动方程：克莱因-高登方程导致的负概率困难，需要寻找波函数对时间一阶导数的波动方程，然而与之对应的相对论能量动量关系中就需要开方运算，破坏了波函数叠加原理的线性性质。将这个非线性的开方运算线性化是一个在实数和复数范围内都不可能的运算，似乎是一种无意义的尝试。可是狄拉克发现，当我们继续扩充数的范围，将矩阵看作一种更大范围内的新数时，在4阶矩阵的情形下，这种转化是可能的。很快，狄拉克发明了以他的名字命名的一组矩阵，在此基础上建立起真正描述电子行为的相对论波动方程。
在无意义的运算中找到意义，在不可能中寻找可能，可以让我们获得真正的创新，找到那条看似不可能的新路口，同时，我们会以一种全新的视角重新审视旧有的理论，获得一种新的认知，使我们的视野扩展到只有思维才能看到的更广阔的抽象领域。