52、薛定谔方程
狄拉克评价薛定谔方程时说，薛定谔方程包含了大部分物理学和全部化学。作为描述微观世界运动规律的基本方程，薛定谔方程确实与大部分物理学和全部化学都存在关联。在量子论的发展历史上，薛定谔方程和与它在数学上等价的海森伯矩阵力学，以及费曼的路径积分方法，是真正意义上的突破，而满足相对论要求的狄拉克方程、克莱因-高登方程以及后来的量子电动力学、规范场理论等一系列新发现，都是在薛定谔方程基础上的进一步延伸与推广。有了薛定谔方程，微观世界的粒子如何演化就变得清晰起来，我们也可以轻而易举的设计实验，验证薛定谔方程的预测，从此，面对光怪陆离的微观世界，我们也拥有了强大的预测能力。
薛定谔是从德布罗意的论文中找到的灵感，德布罗意的想法简直简洁完美到了极致。当人们还在争论爱因斯坦的光量子究竟是波还是粒子的时候，德布罗意天才的灵机一动，如果光有波动和粒子两种属性，那么电子是不是也同时有这两种属性呢？在光学中，我们熟悉光关于波动的性质，而忽略了光的粒子性，那么对于电子，我们是不是犯了同样的错误，是不是考虑粒子图像太多，而忽略了电子波动的一面呢？如果电子有波动和粒子两种属性，那么一切物质是否都有？按照这样的思路，德布罗意很快得到粒子的能量、动量与波的频率、波长之间的关系。薛定谔在此基础上迈出了关键的一步：如果电子是个波，那么应该有个波动方程来描述和预测它的演化行为吧。很快，薛定谔找到了这个方程，新的方程一出世就横扫物理学的各个领域。将它应用到氢原子上，不仅可以自然的推导出玻尔氢原子的全部结论，还可以得到光谱线的强度等新结论；应用到谐振子可以得到量子化的能量和各自的波函数；应用到晶体结构中，可以得到导体、半导体和绝缘体的能带结构；结合泡利不相容原理，薛定谔方程也很快揭开了元素周期律之谜。而在一些新的领域如超导、液氦的超流、加速器与对撞机中的粒子散射，薛定谔方程也有优异的表现。总之，起初纷繁复杂的微观世界乱的像一锅粥，而薛定谔方程一经发现，这些混乱无头绪的现象瞬间变得可以理解了。
薛定谔方程是关于算符和本征值之间的方程，力学量在方程中用算符描述，而力学量的观测值就是算符的本征值。这种微妙的差别在微观世界里却是决定性的，我们可以再重复一遍：力学量是算符，力学量的观测值是算符的本征值。在我们习以为常的世界里，一个物理量本身和它的观测值不就是一回事嘛，可是微观世界的一切告诉我们，一个物理量和它的观测值确实不一样，它们是既有联系，又有区别的两个概念，在这里，我们的思维又一次经历了一次分裂，力学量在这里更像一种操作，一种将一个系统状态变为另一个系统状态的操作。因为在数学上将一个函数变成另一个函数的东西叫算符，将一个向量变成另一个向量的东西叫矩阵。量子化就是力学量的算符化过程，算符的本征值一般是分立的，所以在测量过程中往往会得到量子化的能量之类的结论，因此薛定谔论文的题目是：量子化就是本征值问题。
薛定谔方程打乱了我们的传统思维，我们熟悉的能量、动量、角动量等概念不再是我们熟悉的样子，它们都变成了算符。可算符是什么？算符不过是一些数学符号，我们发明它们不过是为了计算和演算方便，怎么在这里成了代表物理量的东西了？可薛定谔方程就是一再告诉我们，这些力学量的真身或者说本来面目是不存在的，如果硬要描述这种真身或本来面目，数学中的算符就是最好的描述方法。我们知道求解一个算符的本征值与本征函数的一整套数学方法，这样，我们只需要将算符的本征值理解为力学量的测量值，而本征函数理解为某本征值对应的波函数就可以了。在薛定谔方程的实际演算过程中，我们发现了不同算符之间的某种重要的关系。有些算符之间很友好，它们有共同的本征函数系统，因此它们可以同时获得测量值；而有些算符之间就不那么和谐了，这些算符彼此不对易，像坐标和动量或者角动量的不同分量，它们的本征函数是不同的，因此无法同时获得精确的本征值，而这就是海森伯的不确定原理。
对于力学量，尤其是描述系统最重要的哈密顿量（能量算符）如果包含时间，那就需要求解包含时间的薛定谔方程。此时求解出的波函数如果按照本征函数系展开，它的系数一般也是随时间变化的，而本征函数的系数描述的就是观测到该本征函数对应的本征值的概率，这也就是波恩定则。如果我们知道粒子间相互作用的形式，就可以获得粒子波函数的演化规律，从而预测微观粒子的行为。粒子间的相互作用对波函数的演化过程至关重要，我们可以设想这样的过程：两个彼此相距很远，几乎没有相互作用的粒子相互靠近，并通过近距离的相互作用进行演化，然后彼此分离，相互作用会使两个粒子的波函数相互纠缠在一起，形成一个统一的整体，即使粒子间再次相互远离，这种统一的纠缠状态仍然存在，从而形成一种诡异的互动，而这也就是epr佯谬。
在薛定谔方程的理论框架里，不仅存在一些与我们熟悉的宏观力学量对应的算符，而且有些算符是微观体系固有的，并没有宏观上的对应。由于微观粒子（如电子）都有相同的静止质量，相当于其对应的物质波具有相同的固有频率，而波动是一种满足叠加原理的现象，只要频率、相位等满足一定条件就会存在干涉等现象，这使我们在两个相同粒子的波函数重叠区域无法区分粒子，而这也就是粒子的全同原理。全同原理要求微观世界有一个新的粒子交换算符，而且这个算符的本征值只能是1或-1，分别对应玻色子和费米子两种微观粒子。其次，微观世界还有时间反演算符、电荷共轭算符以及宇称算符等，丰富了我们对微观世界的理解。相信对薛定谔方程更加深入的思考与推广，会帮助我们认识更多的未知领域，带给我们更多新的惊喜。
薛定谔是从德布罗意的论文中找到的灵感，德布罗意的想法简直简洁完美到了极致。当人们还在争论爱因斯坦的光量子究竟是波还是粒子的时候，德布罗意天才的灵机一动，如果光有波动和粒子两种属性，那么电子是不是也同时有这两种属性呢？在光学中，我们熟悉光关于波动的性质，而忽略了光的粒子性，那么对于电子，我们是不是犯了同样的错误，是不是考虑粒子图像太多，而忽略了电子波动的一面呢？如果电子有波动和粒子两种属性，那么一切物质是否都有？按照这样的思路，德布罗意很快得到粒子的能量、动量与波的频率、波长之间的关系。薛定谔在此基础上迈出了关键的一步：如果电子是个波，那么应该有个波动方程来描述和预测它的演化行为吧。很快，薛定谔找到了这个方程，新的方程一出世就横扫物理学的各个领域。将它应用到氢原子上，不仅可以自然的推导出玻尔氢原子的全部结论，还可以得到光谱线的强度等新结论；应用到谐振子可以得到量子化的能量和各自的波函数；应用到晶体结构中，可以得到导体、半导体和绝缘体的能带结构；结合泡利不相容原理，薛定谔方程也很快揭开了元素周期律之谜。而在一些新的领域如超导、液氦的超流、加速器与对撞机中的粒子散射，薛定谔方程也有优异的表现。总之，起初纷繁复杂的微观世界乱的像一锅粥，而薛定谔方程一经发现，这些混乱无头绪的现象瞬间变得可以理解了。
薛定谔方程是关于算符和本征值之间的方程，力学量在方程中用算符描述，而力学量的观测值就是算符的本征值。这种微妙的差别在微观世界里却是决定性的，我们可以再重复一遍：力学量是算符，力学量的观测值是算符的本征值。在我们习以为常的世界里，一个物理量本身和它的观测值不就是一回事嘛，可是微观世界的一切告诉我们，一个物理量和它的观测值确实不一样，它们是既有联系，又有区别的两个概念，在这里，我们的思维又一次经历了一次分裂，力学量在这里更像一种操作，一种将一个系统状态变为另一个系统状态的操作。因为在数学上将一个函数变成另一个函数的东西叫算符，将一个向量变成另一个向量的东西叫矩阵。量子化就是力学量的算符化过程，算符的本征值一般是分立的，所以在测量过程中往往会得到量子化的能量之类的结论，因此薛定谔论文的题目是：量子化就是本征值问题。
薛定谔方程打乱了我们的传统思维，我们熟悉的能量、动量、角动量等概念不再是我们熟悉的样子，它们都变成了算符。可算符是什么？算符不过是一些数学符号，我们发明它们不过是为了计算和演算方便，怎么在这里成了代表物理量的东西了？可薛定谔方程就是一再告诉我们，这些力学量的真身或者说本来面目是不存在的，如果硬要描述这种真身或本来面目，数学中的算符就是最好的描述方法。我们知道求解一个算符的本征值与本征函数的一整套数学方法，这样，我们只需要将算符的本征值理解为力学量的测量值，而本征函数理解为某本征值对应的波函数就可以了。在薛定谔方程的实际演算过程中，我们发现了不同算符之间的某种重要的关系。有些算符之间很友好，它们有共同的本征函数系统，因此它们可以同时获得测量值；而有些算符之间就不那么和谐了，这些算符彼此不对易，像坐标和动量或者角动量的不同分量，它们的本征函数是不同的，因此无法同时获得精确的本征值，而这就是海森伯的不确定原理。
对于力学量，尤其是描述系统最重要的哈密顿量（能量算符）如果包含时间，那就需要求解包含时间的薛定谔方程。此时求解出的波函数如果按照本征函数系展开，它的系数一般也是随时间变化的，而本征函数的系数描述的就是观测到该本征函数对应的本征值的概率，这也就是波恩定则。如果我们知道粒子间相互作用的形式，就可以获得粒子波函数的演化规律，从而预测微观粒子的行为。粒子间的相互作用对波函数的演化过程至关重要，我们可以设想这样的过程：两个彼此相距很远，几乎没有相互作用的粒子相互靠近，并通过近距离的相互作用进行演化，然后彼此分离，相互作用会使两个粒子的波函数相互纠缠在一起，形成一个统一的整体，即使粒子间再次相互远离，这种统一的纠缠状态仍然存在，从而形成一种诡异的互动，而这也就是epr佯谬。
在薛定谔方程的理论框架里，不仅存在一些与我们熟悉的宏观力学量对应的算符，而且有些算符是微观体系固有的，并没有宏观上的对应。由于微观粒子（如电子）都有相同的静止质量，相当于其对应的物质波具有相同的固有频率，而波动是一种满足叠加原理的现象，只要频率、相位等满足一定条件就会存在干涉等现象，这使我们在两个相同粒子的波函数重叠区域无法区分粒子，而这也就是粒子的全同原理。全同原理要求微观世界有一个新的粒子交换算符，而且这个算符的本征值只能是1或-1，分别对应玻色子和费米子两种微观粒子。其次，微观世界还有时间反演算符、电荷共轭算符以及宇称算符等，丰富了我们对微观世界的理解。相信对薛定谔方程更加深入的思考与推广，会帮助我们认识更多的未知领域，带给我们更多新的惊喜。