5、多维的世界
在牛顿的时空观里，我们处在一个三维的欧几里得空间里，时间像一条笔直的长河从无限远的过去流向无限远的未来，在这样一个背景平台上，物质以质点系或坐标与时间的连续函数也就是场的形式存在并运动着。空间与时间，物质与时空是彼此割裂独立存在的。这样的一幅图景符合我们每个人的常识，因此，我们坚信自己生活在一个三维空间加一维时间组成的时空里。
但是我们有时候会想问一下为什么，为什么我们生活的地方是三维空间加一维时间？这个3和1是怎么冒出来的？为什么不是4和2？许多人对这类问题的解答满足于人择原理，世界之所以是这样的，是因为我们看到的就是这样的，如果不是这样，可能根本就没有智慧生物生存的条件，也就没人来问这些傻问题了。只是按目前人择原理的生存状况来看，它更像一个盛放问题的筐子，不仅没有解决疑惑，甚至没有科学理论应该具有的预言能力。相对论的出现显然让我们离真理更近了一些，时间和空间组成了一个不可分割的统一整体，物质与时空之间以一种确定的方式相互作用，也就是物质决定时空如何弯曲，时空决定物质如何运动。
在数学中也存在很多空间的概念，但是通常数学空间和物理空间不同。数学空间的维数尤其是线性空间的维数，一般是指描述一个集合中的任意元素需要几个数组成的数组，而这样一个数组一般被称为n维向量，它可以描述n维空间中的一个点。这样，在数学领域里可以定义任意维数的空间。我们希望这些不同维数的空间能够与真实的世界产生关联，从而能够应用数学工具解决现实问题。
巧的是，在物理学中的确有一些领域需要用到数学中的多维空间的概念。在统计热力学领域，一个由n个粒子组成的质点系中，每个粒子都需要三个位置坐标和三个动量坐标来描述，这样的空间称为相空间。这样，三维空间中的n个点的运动就与6n维空间中的一个点的运动彼此等价，而且由于一些特殊的数学工具的运用，描述高维空间中一个点比3维空间中的n个点要简单的多。在微观的量子世界里，系统的状态用波函数来描述，它一般是一个在三维空间中关于坐标与时间的连续分布并演化的函数，而在数学上，一个连续函数可以等价的描述为一个无限维函数空间中的点或向量，这个无限维函数空间称为希尔伯特空间，它的每一个坐标基矢代表的是求解薛定谔方程得到的本征函数系。这样，三维空间中的一个波函数的演化与一个无限维数学空间中的点的演化等价。而且希尔伯特空间在某些情况下也不是无限维的，当描述一个电子的自旋状态时，需要二维的希尔伯特空间，而描述两个电子时则是四维。
我们可以争辩说，无论是6n维相空间还是多维甚至无限维的函数空间，都是数学空间，本质上是一种数学工具，而不是物理实在，真正有物理意义的空间只有牛顿空间或者是它的自然推广：相对论的四维黎曼空间，它们才是真正的物理，代表着真实的时空。可是量子霍尔效应的发现向我们的传统观念又提出了挑战。在量子霍尔效应里，电子在低温强磁场的实验条件下被限制在一个平面内，处在这样的环境下的电子既不是费米子，也不是玻色子，而是服从分数统计的任意子。因此这一平面内的电子并不是处在三维空间中的一个二维平面上，而是处在一个真实的二维空间中，因为三维空间不存在任意子，电子的这一统计规律暴露了电子处在一个真实的二维空间的事实。后来的物理实验又陆续发现了一维的量子线和作为量子计算机量子比特热门候选者的零维量子点。
通过这些在不同维度中电子的行为，我们可以看到，二维、一维甚至零维的空间与我们的三维空间同样真实，它们是真实的物理空间，而不仅仅是数学工具。当物质的某个性质例如二维电子气的任意子统计性质只出现在某个维度时，我们可以说它就在这个维度的空间中，那么当某种物质既可以用三维空间中的运动来描述，又可以用n维数学空间来描述的时候，我们如何去分辨真实的物理空间到底是几维呢？我们的直觉告诉自己空间是三维，但是直觉往往是不可靠的，真实的世界或许并没有限制空间的维数，三维的世界和n维的世界可以彼此在数学上等价，或许也是在物理上等价，三维并不比n维更真实。空间的维数或许是一个主观的概念，取决于观察者理解世界的方式。
分形理论告诉我们，空间的维数也可以不受整数的限制，而可以是分数、小数甚至无理数。科赫曲线的维数是1.2618，康托尔三分集的维数是0.6309，而各地海岸线的维数则大约在1.2左右。当我们用一维的尺子测量海岸线长度时，得到的是无限大，而用1.2维的尺子去量才能得到有限值。分形理论暗示我们，如果选取了不合适的维度，可能会得到零结果或无限大。如果我们相信，真实的物理世界是有限的，而无限大只会出现在数学中这一信条，则会强化空间维数主观性的论点。如果在某个维度的空间中在某问题上出现了无限大，那可能说明至少在出现无穷大的这类问题上，该维度选取的不合适。在三维空间或四维时空连续体中就存在一些难以处理的无限大，比较典型的例子有宇宙的体积、大爆炸和黑洞的奇点以及电子的自能。宇宙体积可能有限也可能无限，取决于ω值，也就是宇宙平均密度与临界密度的比值，按现在流行的观点及数据，宇宙很可能是无限的，可是如果从一个比四维时空维数略高过略低一点的分维来看，或许宇宙体积、奇点密度等就会成为有限值。我们可以从量子场论重整化中找到一点支持这一观点的论据。特霍夫特的维数正规化方法解决了类似电子自能发散的问题，他的方法就是先假定时空维数小于4并进行计算，算出结果后再将维数取趋近于4的极限，最终得出有限并有意义的结果。
这让我们觉得，我们司空见惯的三维空间或许并不是一个可以包罗一切的好的平台，在处理某些问题时，我们需要改变维数才能得到有限且有意义的结果。
但是我们有时候会想问一下为什么，为什么我们生活的地方是三维空间加一维时间？这个3和1是怎么冒出来的？为什么不是4和2？许多人对这类问题的解答满足于人择原理，世界之所以是这样的，是因为我们看到的就是这样的，如果不是这样，可能根本就没有智慧生物生存的条件，也就没人来问这些傻问题了。只是按目前人择原理的生存状况来看，它更像一个盛放问题的筐子，不仅没有解决疑惑，甚至没有科学理论应该具有的预言能力。相对论的出现显然让我们离真理更近了一些，时间和空间组成了一个不可分割的统一整体，物质与时空之间以一种确定的方式相互作用，也就是物质决定时空如何弯曲，时空决定物质如何运动。
在数学中也存在很多空间的概念，但是通常数学空间和物理空间不同。数学空间的维数尤其是线性空间的维数，一般是指描述一个集合中的任意元素需要几个数组成的数组，而这样一个数组一般被称为n维向量，它可以描述n维空间中的一个点。这样，在数学领域里可以定义任意维数的空间。我们希望这些不同维数的空间能够与真实的世界产生关联，从而能够应用数学工具解决现实问题。
巧的是，在物理学中的确有一些领域需要用到数学中的多维空间的概念。在统计热力学领域，一个由n个粒子组成的质点系中，每个粒子都需要三个位置坐标和三个动量坐标来描述，这样的空间称为相空间。这样，三维空间中的n个点的运动就与6n维空间中的一个点的运动彼此等价，而且由于一些特殊的数学工具的运用，描述高维空间中一个点比3维空间中的n个点要简单的多。在微观的量子世界里，系统的状态用波函数来描述，它一般是一个在三维空间中关于坐标与时间的连续分布并演化的函数，而在数学上，一个连续函数可以等价的描述为一个无限维函数空间中的点或向量，这个无限维函数空间称为希尔伯特空间，它的每一个坐标基矢代表的是求解薛定谔方程得到的本征函数系。这样，三维空间中的一个波函数的演化与一个无限维数学空间中的点的演化等价。而且希尔伯特空间在某些情况下也不是无限维的，当描述一个电子的自旋状态时，需要二维的希尔伯特空间，而描述两个电子时则是四维。
我们可以争辩说，无论是6n维相空间还是多维甚至无限维的函数空间，都是数学空间，本质上是一种数学工具，而不是物理实在，真正有物理意义的空间只有牛顿空间或者是它的自然推广：相对论的四维黎曼空间，它们才是真正的物理，代表着真实的时空。可是量子霍尔效应的发现向我们的传统观念又提出了挑战。在量子霍尔效应里，电子在低温强磁场的实验条件下被限制在一个平面内，处在这样的环境下的电子既不是费米子，也不是玻色子，而是服从分数统计的任意子。因此这一平面内的电子并不是处在三维空间中的一个二维平面上，而是处在一个真实的二维空间中，因为三维空间不存在任意子，电子的这一统计规律暴露了电子处在一个真实的二维空间的事实。后来的物理实验又陆续发现了一维的量子线和作为量子计算机量子比特热门候选者的零维量子点。
通过这些在不同维度中电子的行为，我们可以看到，二维、一维甚至零维的空间与我们的三维空间同样真实，它们是真实的物理空间，而不仅仅是数学工具。当物质的某个性质例如二维电子气的任意子统计性质只出现在某个维度时，我们可以说它就在这个维度的空间中，那么当某种物质既可以用三维空间中的运动来描述，又可以用n维数学空间来描述的时候，我们如何去分辨真实的物理空间到底是几维呢？我们的直觉告诉自己空间是三维，但是直觉往往是不可靠的，真实的世界或许并没有限制空间的维数，三维的世界和n维的世界可以彼此在数学上等价，或许也是在物理上等价，三维并不比n维更真实。空间的维数或许是一个主观的概念，取决于观察者理解世界的方式。
分形理论告诉我们，空间的维数也可以不受整数的限制，而可以是分数、小数甚至无理数。科赫曲线的维数是1.2618，康托尔三分集的维数是0.6309，而各地海岸线的维数则大约在1.2左右。当我们用一维的尺子测量海岸线长度时，得到的是无限大，而用1.2维的尺子去量才能得到有限值。分形理论暗示我们，如果选取了不合适的维度，可能会得到零结果或无限大。如果我们相信，真实的物理世界是有限的，而无限大只会出现在数学中这一信条，则会强化空间维数主观性的论点。如果在某个维度的空间中在某问题上出现了无限大，那可能说明至少在出现无穷大的这类问题上，该维度选取的不合适。在三维空间或四维时空连续体中就存在一些难以处理的无限大，比较典型的例子有宇宙的体积、大爆炸和黑洞的奇点以及电子的自能。宇宙体积可能有限也可能无限，取决于ω值，也就是宇宙平均密度与临界密度的比值，按现在流行的观点及数据，宇宙很可能是无限的，可是如果从一个比四维时空维数略高过略低一点的分维来看，或许宇宙体积、奇点密度等就会成为有限值。我们可以从量子场论重整化中找到一点支持这一观点的论据。特霍夫特的维数正规化方法解决了类似电子自能发散的问题，他的方法就是先假定时空维数小于4并进行计算，算出结果后再将维数取趋近于4的极限，最终得出有限并有意义的结果。
这让我们觉得，我们司空见惯的三维空间或许并不是一个可以包罗一切的好的平台，在处理某些问题时，我们需要改变维数才能得到有限且有意义的结果。